想跳舞的鲸鱼: 200910

从∑到∫

前段时间看了木遥一篇极好的科普文章《长度是怎样炼成的》（http://blog.farmostwood.net/20.html）。当然，科普的对象最好懂点微分、积分。如果学过测度论，那简直可以当小品来看了。

看完后，突发奇想， $\sum_{i=1}^{n}{x_{i} }$ 与 $\int_{a}^{b} f(y)dy$ ，二者何其相似！∫完全可以看作是∑的推广。

在一般的理解中， $\sum_{i=1}^{n}{x_{i} }$ 表示n个数相加，其中n是有限数，可以推广到“可数无穷”，但不能推广到“连续统”。
果真如此的话世界将变得如此简单，可惜，Riemann、Lebesgue找到了一条地狱之路：∫
不严格的令 $x_{i} =f(a+dy\cdot i)dy$ ，则 $\sum_{i=1}^{n}{x_{i} } =\sum_{i=1 }^{n}[{f(a+dy\cdot i)dy}]$ ，其中 $n=\frac{b-a}{dx}$ ，显然这里n是“连续统”！本来按照求和的规则，此式无法计算。但是 $\sum_{i=1 }^{n}[{f(a+dy\cdot i)dy}] =\int_{a}^{b} f(y)dy$ ，因此“连续统”个相加也是有意义的，即积分！
这样一来，Riemann积分的意义即为：利用Darboux和将“连续统”个数相加，“降级”成“可数无穷个”数相加。

上面只是个人的异想天开，未必正确，请大家不吝指正

想跳舞的鲸鱼

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2009-10-06

从∑到∫

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